已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(一3,0),一條漸近線的方程是
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若以k(k≠0)為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M, N,且線段MN的
垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍。
(1) ;(2)
【解析】
試題分析:(1)因為中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(一3,0),一條漸近線的方程是,兩個條件即可求出雙曲線的方程.
(2)依題意可得通過假設直線的方程,聯(lián)立雙曲線方程消去y,即可得到一個關于x的二次方程,運用韋達定理以及判別式要大于零,即可寫出線段MN的中垂線的直線方程,從而求出直線與兩坐標軸的交點,即可表示出所求的三角形的面積,從而得到一個等式結(jié)合判別式的關系式,即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)設雙曲線的方程為,
由題設得 解得,所以雙曲線的方程為;
(2)設直線的方程為,點,的坐標滿足方程組,將①式代入②式,得,
整理得,此方程有兩個不等實根,于是,
且,
整理得.③ 由根與系數(shù)的關系可知線段的中點坐標滿足:
,,從而線段的垂直平分線的方程為,此直線與軸,軸的交點坐標分別為,,
由題設可得,整理得,,
將上式代入③式得,整理得,,解得或, 所以的取值范圍是.
考點:1.待定系數(shù)的應用.2.直線與圓錐曲線的位置關系.3.三角形的面積的表示方法.4.韋達定理.5.代數(shù)的運算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(08年龍巖一中沖刺文)(分)已知雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,右準線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點,R是弦PQ的中點.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點,且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點M的跡方程,并說明該軌跡是什么曲線。
(3)若在雙曲線右準線L的左側(cè)能作出直線m:x=a,使點R在直線m上的射影S滿足,當點P在曲線C上運動時,求a的取值范圍.
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