Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在(

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，1)上單調(diào)遞增，且滿足f（-x）=f（x-1），給出下列結(jié)論：①f（1）=0；②函數(shù)f（x）的周期是2；③函數(shù)f（x）在(-

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，0)上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)．
其中正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①由f（-x）=f（x-1），用賦值法求解．②由奇函數(shù)和f（-x）=f（x-1），可得f（x-1）=-f（x），進(jìn)而有f（x+2）=f（x）得證．③由②知無法得知其性質(zhì)．④函數(shù)f（x+1）的圖象是由f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位，由f（x）的性質(zhì)判斷出它是奇函數(shù)．

解答：解：①∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（0）=0，
又∵f（-x）=f（x-1）
∴f（-1）=f（1）=0
正確．
②∵奇函數(shù)和f（-x）=f（x-1），
∴f（x-1）=-f（x），
∴f（x+2）=f（x）
∴函數(shù)f（x）的周期是2．
③由②知無法得知其性質(zhì)，不正確．
④∵函數(shù)f（x+1）的圖象是由f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位，
∵f（x）是奇函數(shù)，f（x-1）=-f（x），
∴f（1-x）=f（x），
即函數(shù)f（x）關(guān)于x=

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對稱，可得出（1，0）點(diǎn)也是對稱中心
所以f（x+1）是奇函數(shù)，正確．
故答案為：①②④

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，涉及到奇偶性，單調(diào)性，對稱性，周期性．考查全面具體，要求平時(shí)學(xué)習(xí)掌握知識要扎實(shí)，靈活．