Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）證明：因為四邊形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD．

   又因為PA⊥平面ABCD，     所以PA⊥BD，

   所以BD⊥平面PAC．                                    ………………………4分

（Ⅱ）設AC∩BD＝O． 因為∠BAD＝60°，PA＝AB＝2， 所以BO＝1，AO＝CO＝．

如圖，以O為坐標原點，OB、OC所在直線及過點O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O－xyz，則

   P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）．

   所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）．

   設PB與AC所成角為θ，則

  

（Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）．

設P（0，－，t） （t ＞0），則＝（－1，－，t）．

設平面PBC的法向量m＝（x，y，z）， 則·m＝0，·m＝0．

令y＝，則x＝3，z＝，    所以m＝

同理，可求得平面PDC的法向量n＝．

因為平面PBC⊥平面PDC， 所以m·n＝0，即－6＋＝0． 解得t＝．

所以當平面PBC與平面PDC垂直時，PA＝．

【解析】略