Question

已知定義在R的單調(diào)函數(shù)f （x），存在常數(shù)x₀，使得對(duì)于任意的x₁、x₂∈R，總有f （x₀x₁+x₀x₂）=f （x₀）+f （x₁）+f （x₂）成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f （x₀）=1，a_n=

1

f(n)

 （n∈N₊），S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，試比較S_n與

1

2

的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁，x₂等式恒成立，故可采用賦值法求解；
（2）先證明{f（n）}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此得 a_n=

1

2n-1

，從而可求S_n，再比較S_n與

1

2

的大小，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），∴f（x₀）=-f（0）．①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）．②
由①②得   f（x₀）=f（1）．∴f（x）為單調(diào)函數(shù)，
∴x₀=1．
（2）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1．
∵f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（1）=1，∴f（n）=2n-1．（n∈Z^*）
∴a_n=

1

2n-1

．
∴Sn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（ 1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的求值問題，一般采用賦值法解決，求數(shù)列的和，關(guān)鍵是求出其通項(xiàng)，再利用相應(yīng)的求和公式，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題．