Question

（2012•道里區(qū)二模）已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G為△PAC的重心，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且CF=2FB．
（1）求證：FG∥平面PAB；
（2）當(dāng)FG⊥平面AEC時，求二面角P-CD-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證FG∥平面PAB，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證FG與平面PAB內(nèi)一直線平行，連接CG延長交PA于M，連BM，根據(jù)比例可得FG∥BM，BM?平面PAB，F(xiàn)G?平面PAB，滿足定理條件；
（2）連EM，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PDA二面角P-CD-A的平面角，在△PDA中求出此角的正切值即可．

解答：（1）證明：連接CG交AP于M點(diǎn)
∵G為△PAC的重心，∴

CG

GM

=

CF

BF

=

2

1

，∴FG∥BM，
又BM?平面PAB，∴FG∥平面PAB…（4分）
（2）解：因為PA⊥平面ABCD，所以AD⊥CD，所以PD⊥CD，所以∠PDA即為二面角的平面角 …（6分）
在直角梯形ABCD中，ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，所以AD=

2

…（7分）
連BM，連EM，
∵FG⊥平面AEC，∴FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=

1

2

AB=1，
設(shè)EA∩BM=H，則EH=

1

2

HA，
設(shè)PA=h，則EA=

1

2

PB=

1

2

4+h2

，EH=

1

3

EA=

1

6

4+h2

，
∵Rt△AME～Rt△MHE，
∴EM²=EH•EA．
∴

1

2

4+h2

•

1

2

4+h2

=1，
∴h=2

2

，即PA=2

2

…（9分）
∴tan∠PAD=

PA

AD

=2…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，以及直線與平面平行的判定，考查面面角，屬于中檔題．