Question

17．已知f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）．
（1）求證：a≤1且x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立；
（2）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=ln（a_n-1+1）（n≥2），求證：$\frac{1}{n}$≤a_n≤$\frac{3}{n+2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論；
（2）a=1時(shí)，$ln（x+1）≥\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）內(nèi)恒成立，$ln（x+1）≤\frac{3x}{x+3}$在[0，3）內(nèi)恒成立，由a₁=1及a_n=ln（a_n-1+1）（n≥2）知0＜a_n≤1，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 證明：（1）$f'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{a}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（x+1）}^2}}}$…（1分）；
當(dāng)a≤1，x≥0時(shí)，f'（x）≥0恒成立                       …（2分）；
此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增                       …（3分）；
所以f（x）≥f（0）=0，得證                              …（4分）；
（2）由（1）可知a=1時(shí)，$ln（x+1）≥\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）內(nèi)恒成立       …（6分）；
同理可證：$ln（x+1）≤\frac{3x}{x+3}$在[0，3）內(nèi)恒成立                  …（7分）；
由a₁=1及a_n=ln（a_n-1+1）（n≥2）知0＜a_n≤1…（8分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{1}≤{a_1}=1≤\frac{3}{1+2}$，結(jié)論成立                    …（9分）；
設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即$\frac{1}{k}≤{a_k}≤\frac{3}{k+2}$
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，${a_{k+1}}=ln（{a_k}+1）≥\frac{a_k}{{{a_k}+1}}≥\frac{{\frac{1}{k}}}{{\frac{1}{k}+1}}=\frac{1}{k+1}$…（10分）
${a_{k+1}}=ln（{a_k}+1）≤\frac{{3{a_k}}}{{{a_k}+3}}≤\frac{{\frac{3}{k+2}}}{{\frac{3}{k+2}+3}}=\frac{1}{k+3}＜\frac{3}{（k+1）+2}$…（11分）
即當(dāng)n=k+1時(shí)有$\frac{1}{k+1}≤{a_{k+1}}≤\frac{3}{（k+1）+2}$，結(jié)論成立，
由此可知對任意n∈N^*結(jié)論都成立，原不等式得證．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，是一道綜合題．