Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，且c=10，

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，P為△ABC的內(nèi)切圓上的動點，求點P到頂點A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值．

Answer 1

分析：利用正弦定理可求得

b

a

，進而根據(jù)題設(shè)等式求得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

整理求得A+B=

π

2

判斷出三角形為直角三角形，進而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性質(zhì)求得其內(nèi)切圓的半徑，如圖建立直角坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的方程可得，設(shè)出p的坐標(biāo)，表示出，S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，利用x的范圍確定S的范圍，則最大和最小值可得．

解答：解：由

cosA

cosB

=

b

a

，運用正弦定理，有

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，
∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．
因為A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=

π

2

由此可知△ABC是直角三角形
由c=10，

b

a

=

4

3

，a²+b²=c²以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．
如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O'，
切點分別為D，E，F(xiàn)，則
AD+DB+EC=

1

2

（10+8+6）=12．
但上式中AD+DB=c=10，
所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2，
如圖建立坐標(biāo)系，
則內(nèi)切圓方程為：
（x-2）²+（y-2）²=4
設(shè)圓上動點P的坐標(biāo)為（x，y），
則S=|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（x-8）²+y²+x²+（y-6）²+x²+y²
=3x²+3y²-16x-12y+100
=3[（x-2）²+（y-2）²]-4x+76
=3×4-4x+76=88-4x．
因為P點在內(nèi)切圓上，所以0≤x≤4，
S_最大值=88-0=88，
S_最小值=88-16=72

點評：本題主要考查了三角函數(shù)求最值的問題，直角三角形內(nèi)切圓的問題，圓的性質(zhì)問題．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用．