Question

已知：x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-6x+5=0的兩根，且yn=

xn+1

xn

，xn+2=(5+

1

yn

)xn+1．n∈N^*．
（1）求y₁，y₂，y₃的值；
（2）設(shè)z_n=y_ny_n+1，求證：

n

i=1

zi≥26n；
（3）求證：對(duì)?n∈[2，+∞）有|y2n-yn|＜

1

625

•

1

26n-2

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)方程的根求出y1=

x2

x1

=5，再根據(jù)y_n的表達(dá)式和x_n+2關(guān)于x_n+1表達(dá)式，分別取n=1、2、3即可求出；
（2）根據(jù)x_n、y_n各項(xiàng)為正的特征，求出z₁=y₁y₂=26，再根據(jù)z_n的表達(dá)式及不等式的性質(zhì)可得z_n＞26（n≥2），最后代入

n

i=1

zi，命題得證；
（3）求出|y2-y1|=

1

25

＜

26

625

，再通過y_n+1關(guān)于y_n的表達(dá)式，證出|yn+1-yn|≤

1

26

|yn-yn-1|，利用數(shù)列的遞推特性進(jìn)一步證出|y_n+1-y_n|≤

1

25

•

1

26n-1

，最后用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)將|y_2n-y_n|分解為不小于它本身的和：|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|的形式，得出等比數(shù)列求和表達(dá)式，再將所得結(jié)果適當(dāng)放大，使命題得證．

解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0 得x₁=1，x₂=5，---------------------------------------------1分
∴y1=

x2

x1

=5，------------------------------------------------------------------------------2分 x3=(5+

1

y1

)x2=26，
∴y2=

x3

x2

=

26

5

，--------------------------------------------------------------------------3分 x4=(5+

1

y2

)x3=135，
∴y3=

x4

x3

=

135

26

--------------------------------------------4分
（2）由xn+2=(5+

1

yn

)xn+1 得

xn+2

xn+1

=5+

1

yn

即yn+1=5+

1

yn

?y_n+1y_n=5y_n+1----------------------6分
當(dāng)n≥2 時(shí)y_n＞5，于是z₁=y₁y₂=26，z_n=y_ny_n+1=5y_n+1＞26 （n≥2 ）
∴

n

i=1

zi=z1+z2+…+zn≥26n--------------------------------------------------------------------9分
（3）當(dāng)n≥2 時(shí)，有|yn+1-yn|=|5+

1

yn

-(5+

1

yn-1

)|=|

yn-yn-1

ynyn-1

|≤

1

26

|yn-yn-1| ≤

1

262

|yn-1-yn-2| ≤…≤

1

26n-1

|y2-y1|=

1

25

•

1

26n-1

----------------------------------------12分
∵|y_2n-y_n|=|y_2n-y_2n-1+y_2n-1-y_2n-2+y_2n-2-…+y_n+1-y_n|
∴|y_2n-y_n|≤|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|≤

1

25

[

1

26n-1

+…+

1

262n-3

+

1

262n-2

]=

1

25

•

1 26n-1 (1- 1 26n )

1- 1 26

＜

26

625

•

1

26n-1

=

1

625

•

1

26n-2

∴對(duì)?n∈N^* 有|y2n-yn|＜

1

625

•

1

26n-2

（n∈N^*）----------------------------------------------14分

點(diǎn)評(píng)：把握數(shù)列的遞推關(guān)系是解決前兩個(gè)問題的關(guān)鍵，第三問用到數(shù)列遞推在不等式中的應(yīng)用，證明不等式用到絕對(duì)值不等式的性質(zhì)以及不等式放縮的技巧，再與數(shù)列的求和相結(jié)合，是數(shù)列與不等式兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的完美交匯．