Question

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角滿足A、B、C成等差，設(shè)x=cos

A-C

2

，f（x）=cosB(

1

cosA

+

1

cosC

)．
（1）求f（x）解析式及定義域；
（2）討論函數(shù)單調(diào)性，并證明；
（3）求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）先確定B，再借助于x=cos

A-C

2

，f（x）=cosB(

1

cosA

+

1

cosC

)．化簡可得．
（2）根據(jù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，可知函數(shù)的單調(diào)性
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域，可確定函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由題意，∵A、B、C成等差
∴2B=A+C
∴3B=180°
∴B=60°
∴f（x）=cosB(

1

cosA

+

1

cosC

)=

1

2

× 

cosA+cosC

cosAcosC

．
∵x=cos

A-C

2

，
∴f(x)=

2x

4x2-3

，(

1

2

＜x＜

3

2

，

3

2

＜x≤1)
（2）f/(x)=

-8x2-6

(4x2-3)2

＜0，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(

1

2

，

3

2

)，(

3

2

，1]
（3）由（2）知，f(

1

2

)=-

1

2

，f(1)=2，
∴f（x）值域?yàn)?span id="obj0lnv" class="MathJye">(-∞，-

1

2

)∪[2，+∞)．

點(diǎn)評：本題以三角形為載體，考查三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)式的化簡，函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的值域，有一定的綜合性．