Question

8．給定下列四個(gè)命題：
命題p：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式lnx≤x-1與lnx≥1-$\frac{1}{x}$等價(jià)；
命題q：不等式e^x≥x+1與ln（x+1）≤x等價(jià)；
命題r：“b²-4ac≥0”是“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a≠0）有極值點(diǎn)”的充要條件；
命題s：若對(duì)任意的x$∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式a＜$\frac{sinx}{x}$恒成立，則a≤$\frac{2}{π}$．
其中為假命題的是（　�。�

• A． （￢s）∧￢p
• B． （￢q）∧s
• C． （￢r）∧p
• D． ￢（q∧p）

Answer 1

分析 命題p：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式lnx≤x-1，用$\frac{1}{x}$代換x可得：$ln\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{x}$-1，化簡(jiǎn)即可判斷出真假；
命題q：對(duì)于不等式e^x≥x+1，當(dāng)x≤-1時(shí)仍然成立，因此與ln（x+1）≤x（x＞-1）不等價(jià)；
命題r：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a≠0），f′（x）=ax²+bx+c，有極值點(diǎn)，則△=b²-4ac＞0，即可判斷出真假；
命題s：若對(duì)任意的x$∈（0，\frac{π}{2}）$，令f（x）=x-tanx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得f（x）＜f（0）=0．令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-tanx）cosx}{{x}^{2}}$＜0，即可得出單調(diào)性，再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出．

解答 解：命題p：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式lnx≤x-1，用$\frac{1}{x}$代換x可得：$ln\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{x}$-1，化為lnx≥1-$\frac{1}{x}$，因此正確；
命題q：對(duì)于不等式e^x≥x+1，當(dāng)x≤-1時(shí)仍然成立，因此與ln（x+1）≤x（x＞-1）不等價(jià)，因此是假命題；
命題r：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a≠0），f′（x）=ax²+bx+c，有極值點(diǎn)，則△=b²-4ac＞0，因此“b²-4ac≥0”是“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a≠0）有極值點(diǎn)”的必要不充分條件，是假命題；
命題s：若對(duì)任意的x$∈（0，\frac{π}{2}）$，令f（x）=x-tanx，f′（x）=1-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$＜0，∴函數(shù)f（x）在x$∈（0，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞減，∴f（x）≤f（0）=0．
令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-tanx）cosx}{{x}^{2}}$＜0，∴g（x）在x$∈（0，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞減，∴g（x）＞$g（\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{\frac{π}{2}}$=$\frac{2}{π}$，由于不等式a＜$\frac{sinx}{x}$恒成立，則a≤$\frac{2}{π}$，是真命題．
由以上可得：（￢q）∧s，（￢r）∧p，￢（q∧p）是真命題；（￢s）∧￢p為假命題．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．