8.給定下列四個(gè)命題:
命題p:當(dāng)x>0時(shí),不等式lnx≤x-1與lnx≥1-$\frac{1}{x}$等價(jià);
命題q:不等式ex≥x+1與ln(x+1)≤x等價(jià);
命題r:“b2-4ac≥0”是“函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}$bx2+cx+d(a≠0)有極值點(diǎn)”的充要條件;
命題s:若對(duì)任意的x$∈(0,\frac{π}{2})$,不等式a<$\frac{sinx}{x}$恒成立,則a≤$\frac{2}{π}$.
其中為假命題的是( 。
A.(¬s)∧¬pB.(¬q)∧sC.(¬r)∧pD.¬(q∧p)

分析 命題p:當(dāng)x>0時(shí),不等式lnx≤x-1,用$\frac{1}{x}$代換x可得:$ln\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{x}$-1,化簡(jiǎn)即可判斷出真假;
命題q:對(duì)于不等式ex≥x+1,當(dāng)x≤-1時(shí)仍然成立,因此與ln(x+1)≤x(x>-1)不等價(jià);
命題r:函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}$bx2+cx+d(a≠0),f′(x)=ax2+bx+c,有極值點(diǎn),則△=b2-4ac>0,即可判斷出真假;
命題s:若對(duì)任意的x$∈(0,\frac{π}{2})$,令f(x)=x-tanx,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得f(x)<f(0)=0.令g(x)=$\frac{sinx}{x}$,g′(x)=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{(x-tanx)cosx}{{x}^{2}}$<0,即可得出單調(diào)性,再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出.

解答 解:命題p:當(dāng)x>0時(shí),不等式lnx≤x-1,用$\frac{1}{x}$代換x可得:$ln\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{x}$-1,化為lnx≥1-$\frac{1}{x}$,因此正確;
命題q:對(duì)于不等式ex≥x+1,當(dāng)x≤-1時(shí)仍然成立,因此與ln(x+1)≤x(x>-1)不等價(jià),因此是假命題;
命題r:函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}$bx2+cx+d(a≠0),f′(x)=ax2+bx+c,有極值點(diǎn),則△=b2-4ac>0,因此“b2-4ac≥0”是“函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}$bx2+cx+d(a≠0)有極值點(diǎn)”的必要不充分條件,是假命題;
命題s:若對(duì)任意的x$∈(0,\frac{π}{2})$,令f(x)=x-tanx,f′(x)=1-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$<0,∴函數(shù)f(x)在x$∈(0,\frac{π}{2})$單調(diào)遞減,∴f(x)≤f(0)=0.
令g(x)=$\frac{sinx}{x}$,g′(x)=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{(x-tanx)cosx}{{x}^{2}}$<0,∴g(x)在x$∈(0,\frac{π}{2})$單調(diào)遞減,∴g(x)>$g(\frac{π}{2})$=$\frac{1}{\frac{π}{2}}$=$\frac{2}{π}$,由于不等式a<$\frac{sinx}{x}$恒成立,則a≤$\frac{2}{π}$,是真命題.
由以上可得:(¬q)∧s,(¬r)∧p,¬(q∧p)是真命題;(¬s)∧¬p為假命題.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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