Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB=4，G為PD的中點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（I）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求三棱錐G-PEC的體積．

Answer 1

解：（I）過點E作EH⊥PC于H，
∵平面PEC⊥平面PDC，平面PEC∩平面PDC=PC．
∴EH⊥平面PDC
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA
∵正方形ABCD中CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD，結(jié)合AG?平面PAD，得CD⊥AG
∵△PAD中，PA=AD，G為PD中點，∴PD⊥AG，
∵PD、CD是平面PDC內(nèi)的相交直線，∴AG⊥平面PDC
∵AG、EH同時垂直于平面PDC，∴AG∥EH
∵EH?平面PEC，AG?平面PEC，
∴AG∥平面PEC；
（II）連接GH，設EH、AG確定的平面為α，則α∩平面PDC=GH
∵AE∥CD，AB?平面PDC，CD?平面PDC，∴AE∥平面PDC
∵AE?平面α，α∩平面PDC=GH，
∴AE∥GH，得四邊形AEHG是平行四邊形，所以EH=AG
∵等腰Rt△PAD中，PA=PD=4，AG是PD邊上的中線，∴PD=4，AG=PD=2，
∵Rt△PDC中，PD=4，CD=4，∴S_△PDC=×4×4=8
∵CG是△PDC的中線，∴S_△PGC=S_△PDC=4
∵EH⊥平面PDC，得EH是三棱錐G-PEC的高
∴三棱錐G-PEC的體積為：V=×S_△PGC×EH=×4×2=
分析：（I）過點E作EH⊥PC于H，由面面垂直的性質(zhì)定理可得EH⊥平面PDC．根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，得到AG⊥平面PDC，從而得到AG∥EH，最后結(jié)合線面平行判定定理，證出AG∥平面PEC；
（II）連接GH，設EH、AG確定的平面為α，得GH是平面α與平面PDC的交線，由線面平行的判定與性質(zhì)證出AE∥GH，可得四邊形AEHG是平行四邊形，所以EH=AG．等腰Rt△PAD中，算出AG=PD=2，Rt△PDC中，算出S_△PGC=S_△PDC=4，最后利用錐體體積公式，即可算出三棱錐G-PEC的體積．
點評：本題給出四棱錐，求證線面平行并求錐體體積，著重考查了直線與平面平行的判定、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積的求法等知識，屬于中檔題．