Question

7．已知不等式2x-1＞m（x²-1），是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式對(duì)任意x∈R恒成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 利用一元二次不等式的性質(zhì)，進(jìn)行判斷求解即可．

解答 解：∵2x-1＞m（x²-1），
∴mx²-2x+1-m＜0，
若m=0，則不等式等價(jià)為-2x+1＜0，解得x＞$\frac{1}{2}$，不滿足條件．
若mx²-2x+1-m＜0恒成立，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=4-4m（1-m）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{m}^{2}-m-1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜m＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜m＜0，
即存在$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜m＜0使不等式對(duì)任意x∈R恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)一元二次不等式和判別式△之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．