Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n-1，a₁=3，
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意有a_n+1-1=2a_n-2可得，

an+1-1

an-1

=2，從而可得數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a_n=2ⁿ+1，利用分組求和及等差數(shù)列的前n項(xiàng)目和公式可求

解答：解：（Ⅰ）依題意有a_n+1-1=2a_n-2且a₁-1=2，
所以

an+1-1

an-1

=2
所以數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=（a₁-1）2^n-1，
即a_n-1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ+1
而S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+1）+（2²+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）=（2+2²+2²+…+2ⁿ）+n=

2(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺¹-2+n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造的方法證明等比數(shù)列，要注意該方法的應(yīng)用，還考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用．