Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=1-a_n
（1）證明{a_n}是等比數(shù)列．
（2）設(shè)bn=(

1

log2a2n+3

-

2

log2a2n+1

)an
（3）求證：b1+b2+…+bn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列中a_n與 Sn關(guān)系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求{a_n}的通項，根據(jù)定義去證明．
（2）按照對數(shù)運算，得出bn =

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

，代入b₁+b₂+…+b_n根據(jù)式子規(guī)律，從第二項起，相鄰兩項正負(fù)相消，進(jìn)行求和與證明．

解答：解：（1）證明
當(dāng)n=1時，a1=S1=1-a1，a1=

1

2

當(dāng)n≥2時a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）∴an=

1

2

an-1(n≥2)，故{a_n}是等比數(shù)列          
（2）由（1）知{a_n}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^-n ∴bn=(

1

-2n-3

+

2

2n+1

)•2-n  =

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

∴b₁+b₂+…+b_n=（

1

3

-

1

5×21

 ）+（

1

5×21

- 

1

7×22

）+…+（ 

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

）=

1

3

-

1

(2n+3)2n

＜

1

3

點評：本題主要考查數(shù)列中a_n與 Sn關(guān)系 an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

，對數(shù)運算、數(shù)列求和，不等式證明．屬于中檔題．