Question

中國(guó)•湖南第三屆國(guó)際礦冶文化旅游節(jié)將于2012年10月20日在長(zhǎng)沙舉行，為了搞好接待工作，組委會(huì)準(zhǔn)備在理工學(xué)院和師范學(xué)院分別招募8名和12名志愿者，將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”，且只有師范學(xué)院的“高個(gè)子”才能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？
（2）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由莖葉圖可知，“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人，從而可得5人中“高個(gè)子”為2人，“非高個(gè)子”為3人，從而可求至少有1人為高個(gè)子的概率；
（2）確定ξ的可能取值，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由莖葉圖可知，“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人，
∴按照分層抽樣抽取的5人中“高個(gè)子”為5×

8

20

=2人，“非高個(gè)子”為5×

12

20

=3人，
則至少有1人為高個(gè)子的概率P=1-

C 2 3

C 2 5

=

7

10

．
（3）由題可知：湖北師范學(xué)院的高個(gè)子只有3人，則ξ的可能取值為0，1，2，3；
故P（ξ=0）=

C 3 5

C 3 8

=

10

56

，
P（ξ=1

C 2 5 C 1 3

C 3 8

=

30

56

，
P（ξ=2）=

C 2 3 C 1 5

C 3 8

=

15

56

，
P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 8

=

1

56

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	10 56	30 56	15 56	1 56

Eξ=0×

10

56

+1×

30

56

+2×

15

56

+3×

1

56

=

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查莖葉圖，考查概率的求解，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．