Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有實(shí)數(shù)根．
（1）證明：-3＜c≤-1，且b≥0；
（2）若m是方程f（x）+1=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，判斷f（m-4）的符號(hào)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=0，∴1+2b+c=0；
∴b=-．
又c＜b＜1，
故c＜-＜1．即-3＜c＜-．
又f（x）+1=0有實(shí)數(shù)根．
即x²+2bx+c+1=0有實(shí)數(shù)根．
∴△=4b²-4（c+1）≥0；
即（c+1）²-4（c+1）≥0；
∴c≥3或c≤-1；
又-3＜c＜-，取交集得-3＜c≤-1，
由b=-知b≥0．
（2）f（x）=x²+2bx+c
=x²-（c+1）x+c
=（x-c）（x-1）．
∴函數(shù)f（x）=x²+2bx+c的圖象與x軸交于A（c，0）、B（1，0）兩點(diǎn)；
∵f（m）=-1＜0，∴c＜m＜1；
∴c-4＜m-4＜1-4＜c；
∴m-4＜c．
∵f（x）=x²+2bx+c在（-∞，c）上遞減，
∴f（m-4）＞f（c）=0．
∴f（m-4）的符號(hào)為正．
分析：（1）由f（1）=0，找到b與c的關(guān)系，再由b的范圍，求得c的范圍，再由方程f（x）+1=0有實(shí)數(shù)根，進(jìn)一步求得c的范圍，前后范圍取交集．
（2）先明確函數(shù)f（x）=x²+2bx+c的圖象與x軸交于A（c，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，再由f（m）=-1＜0，確定m范圍，進(jìn)而確定m-4的范圍，通過(guò)兩個(gè)交點(diǎn)A，B確定其符號(hào)．
點(diǎn)評(píng)：本題屬代數(shù)推理題，將二次函數(shù)、二次方程與不等式結(jié)合起來(lái)考查．探求二次函數(shù)背景下的不等式問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是將二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化．