Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ．
（1）求通項(xiàng)公式an；
（2）求數(shù)列{|an﹣n﹣2|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，

解得a1=1，a2=3，

當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，

兩式相減得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，

即an+1=3an，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，a2=3，

滿足an+1=3an，

∴ =3，則數(shù)列{an}是公比q=3的等比數(shù)列，

則通項(xiàng)公式an=3n﹣1

（2）

解：an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，

設(shè)bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，

則b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，

當(dāng)n≥3時(shí)，3n﹣1﹣n﹣2＞0，

則bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，

此時(shí)數(shù)列{|an﹣n﹣2|}的前n項(xiàng)和Tn=3+ ﹣ = ，

則Tn= ．

【解析】（1）根據(jù)條件建立方程組關(guān)系，求出首項(xiàng)，利用數(shù)列的遞推關(guān)系證明數(shù)列{an}是公比q=3的等比數(shù)列，即可求通項(xiàng)公式an；（2）討論n的取值，利用分組法將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列和等差數(shù)列即可求數(shù)列{|an﹣n﹣2|}的前n項(xiàng)和．本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列求和的計(jì)算，根據(jù)條件建立方程組以及利用方程組法證明列{an}是等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．求出過程中使用了轉(zhuǎn)化法和分組法進(jìn)行數(shù)列求和．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)．