Question

在三棱柱的側棱A₁A和B₁B上各有一動點P，Q，且滿足A₁P=BQ，過P、Q、C三點的截面把棱柱分成上下兩部分，其體積分別為V₁，V₂，則V₁：V₂=（ ）

A．3：1
B．2：1
C．4：1
D．比值不確定，與P、Q位置有關

Answer 1

【答案】分析：由已知中A₁P=BQ，，我們可得四邊形PQBA與四邊形PQB₁A₁的面積相等，等于側面ABPQB₁A₁的面積的一半，根據等底同高的棱錐體積相等，可將四棱椎C-PQBA的體積轉化三棱錐C-ABA₁的體積，進而根據同底同高的棱錐體積為棱柱的，求出四棱椎C-PQBA的體積，進而得到答案．
解答：解：設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V
∵側棱AA₁和BB₁上各有一動點P，Q滿足A₁P=BQ，
∴四邊形PQBA與四邊形PQB₁A₁的面積相等
故四棱椎C-PQBA的體積等于三棱錐C-ABA₁的體積等于V
則幾何體CPQ-C₁B₁A₁的體積等于V
故過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積比為2：1
故選B
點評：本題考查的知識點是棱柱的體積，棱錐的體積，其中根據四邊形PQBA與四邊形PQB₁A₁的面積相等，等于側面ABPQB₁A₁的面積的一半，將四棱椎C-PQBA的體積轉化三棱錐C-ABA₁的體積，進而根據同底同高的棱錐體積為棱柱的，求出上下兩部分的體積，是解答本題的關鍵．