Question

已知函數(shù)f（x）=（m+1）x²-（m-1）x+m-1
（1）若不等式f（x）＜1的解集為R，求m的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥（m+1）x；
（3）若不等式f（x）≥0對(duì)一切恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)m+1的情況分類討論，由不等式f（x）＜1的解集為R，可得，解之即可求得m的取值范圍；
（2）f（x）≥（m+1）x?[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0，對(duì)m+1=0，m+1＞0與m+1＜0分類討論，可分別求得其解集；
（3）（m+1）x²-（m-1）x+m-1≥0?m（x²-x+1）≥-x²-x+1?m≥，通過(guò)分離常數(shù)與利用基本不等式結(jié)合已知即可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）①當(dāng)m+1=0即m=-1時(shí)，f（x）=2x-3，不合題意；  …（1分）
②當(dāng)m+1≠0即m≠-1時(shí)，，即，…（3分）
∴，
∴m＜…（5分）
（2）f（x）≥（m+1）x即（m+1）x²-2mx+m-1≥0
即[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0
①當(dāng)m+1=0即m=-1時(shí)，解集為{x|x≥1}…（7分）
②當(dāng)m+1＞0即m＞-1時(shí)，（x-）（x-1）≥0，
∵=1-＜1，
∴解集為{x|x≤或x≥1}…（9分）
③當(dāng)m+1＜0即m＜-1時(shí)，（x-）（x-1）≥0，
∵=1-＞1，
∴解集為{x|x≥或x≤1}…（…（11分）
（3）（m+1）x²-（m-1）x+m-1≥0，即m（x²-x+1）≥-x²-x+1，
∵x²-x+1＞0恒成立，
∴m≥=-1+…（13分）
設(shè)1-x=t，則t∈[，]，x=1-t，
∴===，
∵t+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，
∴≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，=1，
∴m≥1…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，突出考查二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法，突出分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想及比較大小方法的綜合應(yīng)用，屬于難題．