Question

已知拋物線C：y²=2px，（p＞0），點(diǎn)(

3

2

，m)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離等于2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)直線l：x=-1上任一點(diǎn)A向拋物線C引兩條切線AS，AT（切點(diǎn)為S，T），求證：直線ST過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（3）當(dāng)直線l變動(dòng)時(shí)，是否也有相應(yīng)的結(jié)論成立？請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)正確的命題來(lái)（無(wú)需證明）．

Answer 1

分析：（1）欲求拋物線方程，需求出p值，根據(jù)拋物線上點(diǎn)(

3

2

，m)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離等于2可解得p，問(wèn)題得解．
（2）先設(shè)A（-1，t），得到過(guò)點(diǎn)A的切線：l_切：y-t=k（x+1），聯(lián)立切線方程與拋物線方程得到關(guān)于k和t之間的等量關(guān)系；求出S，T的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線ST的方程，即可證明結(jié)論；
（3）直接根據(jù)類比推理的思想寫(xiě)出一個(gè)結(jié)論即可．（答案不唯一）．

解答：解：（1）∵點(diǎn)(

3

2

，m)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離等于2，
∴

3

2

-(-

p

2

)=2⇒p=1．
∴拋物線C的方程為：y²=2x，
（2）設(shè)A（-1，t），過(guò)點(diǎn)A的切線：l_切：y-t=k（x+1），代入y²=2x，
得：ky²-2y+2t+2k=0，
由

k≠0 △=0

得：2k²+2tk-1=0，從而k1•k2=-

1

2

，且有ky2-2y+

1

k

=0，即（ky-1）²=0，得y=

1

k

，
因此S（

1

2 k 2 1

，

1

k1

），T(

1

2 k 2 2

，

1

k2

)，lST：y-

1

k1

=

2k1k2

k1+k2

(x-

1

2 k 2 1

)=

-1

k1+k2

(x-

1

2 k 2 1

)
即有lST：y=

-1

k1+k2

(x-1)，從而直線ST過(guò)定點(diǎn)P（1，0）．
（3）過(guò)直線l：x=-

1

2

上任一點(diǎn)A向拋物線C引兩條切線AS，AT（切點(diǎn)為S，T），則直線ST過(guò)定點(diǎn)P(

1

2

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線方程的求法，以及直線與拋物線的位置關(guān)系判斷，做題時(shí)要認(rèn)真分析，避免不必要的錯(cuò)誤．