已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+3的單調(diào)遞減區(qū)間為(-
1
3
，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-
1
3
)和（1，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若t∈R，試討論關(guān)于x的方程f（x）=2x2+8x+t的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．
（1）f'（x）=3x2+2ax+b
由題設(shè)得f'（x）=0的根為x=-
1
3
或x=1
由此求得a=b=-1
故f（x）=x3-x2-x+3
（2）g（x）=f（x）-（2x2+8x+t）=x3-3x2-9x+3-t
令g'（x）=3x2-6x-9=0，得x=-1或x=3
x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
g'（x） + 0 - 0 +
g（x） 增 極大值 減 極小值 增
g（x）極大值=g（-1）=8-t，g（x）極小值=g（3）=-24-t
∴當(dāng)8-t＜0，即t＞8時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)8-t=0，即t=8時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)
8-t＞0
-24-t＜0
即-24＜t＜8時(shí)，原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-24-t=0，即t=-24時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-24-t＞0，即t＜-24時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
綜上，當(dāng)t=-24或t=8時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)t＜-24或t＞8時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-24＜t＜8時(shí)，原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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