Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x。
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)于任意的x₁，x₂∈（a，+∞），且x₁＜x₂，恒有成立？若存在，求a的范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由f'（x）=e^x（x+1）=0，得x=-1
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：
 
可知f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），遞增區(qū)間為（-1，+∞），
f（x）有極小值為，但沒有極大值。
（2）令
則（*）成立，
即g（x）在（a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
這只需g'（x）>0
而g'（x）=
記h（x）=e^x（x²-ax-a）+ae^a，
則h'（x）=e^x[x²+（2-a）x-2a] =e^x（x+2）（x-a）
故當(dāng)a≥-2，且x>a時(shí)，h'（x）>0，h（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增
故h（x）>h（a）=0，從而g'（x）>0，不等式（*）恒成立
另一方面，當(dāng)a＜-2，且a＜x＜-2時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在[a，-2]上單調(diào)遞減，
又h（a）=0，所以h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（a，-2）上單調(diào)遞減
從而存在x₁，x₂，a＜x₁＜x₂＜-2，使得g（x₂）＜g（x₁）
可知，不等式（*）不成立
因此a的取值范圍是[-2，+∞）。