Question

對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．給出下列三個(gè)命題：
①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根據(jù)新定義A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）之間的“距離”：‖AB‖=

.

x1- x2

.

+

.

y1- y2

.

，對(duì)①②③逐個(gè)分析即可判斷其正誤．

解答：解：①，不妨設(shè)直線AB的方程為y=kx+b（k＞0），令x₂＞x₀＞x₁，
∵點(diǎn)C（x₀，y₀）在線段AB上，
∴‖AC‖=

.

x0- x1

.

+

.

y0- y1

.

=（k+1）（x₀-x₁）；
同理可得，‖CB‖=（k+1）（x₂-x₀），‖AB‖=（k+1）（x₂-x₁）；
∵‖AC‖+‖CB‖=（k+1）（x₀-x₁）+（k+1）（x₂-x₀）=（k+1）（x₂-x₁）=‖AB‖；
故①正確；
②，∵在△ABC中，若∠C=90°，取C（1，1），A（3，2），則B在直線x+y=3上，不妨取B（0，3），
‖CA‖=|3-1|+|2-1|=2+1=3，‖CB‖=|0-1|+|3-1|=1+2=3，‖AB‖=|3-0|+|2-3|=4，
顯然，‖AC‖+‖CB‖≠‖AB‖；故②錯(cuò)誤；
③，取C（0，0），A（1，0），B（0，1），則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖=2，故③錯(cuò)誤．
綜上所述，其中真命題的個(gè)數(shù)為1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查分析法與排除法的應(yīng)用，考查構(gòu)造思想與推理運(yùn)算能力，屬于難題．