設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+an=n(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:
1
2a1
+
1
22a2
+
1
23a3
+…+
1
2nan
<2.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1+a1=1,解得a1=
1
2
.Sn+an=n,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+an-1=n-1,可得an-1=
1
2
(an-1-1)
,a1-1=-
1
2
.利用等比數(shù)列的相同公式即可得出;
(2)利用
1
2nan
=
1
2n-1
1
2n-1
,再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就看得出.
解答: (1)解:當(dāng)n=1時(shí),a1+a1=1,解得a1=
1
2

Sn+an=n,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+an-1=n-1,可得an+an-an-1=1,
an-1=
1
2
(an-1-1)
,a1-1=-
1
2

∴數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,an-1=-
1
2
×(
1
2
)n-1
,
an=1-
1
2n

(2)證明:∵
1
2nan
=
1
2n-1
1
2n-1
,
1
2a1
+
1
22a2
+
1
23a3
+…+
1
2nan
1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
=
1-
1
2n
1-
1
2
=2(1-
1
2n
)
<2.
1
2a1
+
1
22a2
+
1
23a3
+…+
1
2nan
<2.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“放縮法”、遞推式的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=5,an=2an-1+3an-2(n≥3),則a20-3a19=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知曲線C的極坐標(biāo)方程式ρ2=2ρsinθ+3,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是
x=m+4t
y=3t
(t為參數(shù),m為常熟)
(1)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程
(2)當(dāng)曲線C與直線l有公共點(diǎn)時(shí),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在[-2,2]上有最大值1,那么此函數(shù)在[-2,2]上的最小值是(  )
A、-39B、-31
C、-7D、以上都不對(duì)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
b
的夾角為30°,且|
a
|=1
|2
a
-
b
|=1
,則|
b
|
=( 。
A、
6
B、
5
C、
3
D、
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件
y≤2x
x+y≤1
y≥-1
,則2x+y的最大值是(  )
A、
4
3
B、3
C、-2
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

做出下列函數(shù)圖象,指出定義域與值域,單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)和奇偶性.
(1)y=-(x+1)2
(2)y=1+x2
(3)y=
1
x+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖表程序中,如果輸入的x值是20,則輸出的y值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA-
3
sinA)cosB=0

(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=
13
,a+c=4,求△ABC的面積.

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