已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(,0).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且·>2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.
解:(1)設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0), 由已知得a=,c=2. 由a2+b2=22,得b2=1,故雙曲線C的方程為-y2=1. (2)將y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
即k2≠且k2<1.① 設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則xA+xB=, xAxB=. 由·>2,得xAxB+yAy$>2. 而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+) 。(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2 。(k2+1)+k+2=. 于是>2,即>0. 解之,得<k2<3.② 由①②得<k2<1,故k的取值范圍為(-1,)∪(,1). 解析:對(duì)于第一問(wèn),只要利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的a、b、c間的關(guān)系不難將問(wèn)題解決;對(duì)于第二問(wèn),聯(lián)立直線與雙曲線的方程,消去其中的一個(gè)未知數(shù),再由根與系數(shù)間的關(guān)系,從而將問(wèn)題解決. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年龍巖一中沖刺文)(分)已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn),R是弦PQ的中點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn),且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程,并說(shuō)明該軌跡是什么曲線。
(3)若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a,使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足,當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求a的取值范圍.
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