Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為l₁，g（x-1）與x軸的交點(diǎn)N處的切線為l₂，并且l₁與l₂平行．
（1）求f（2）的值；
（2）已知實(shí)數(shù)t∈R，求函數(shù)y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；
（3）令F（x）=g（x）+g′（x），給定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)α，β，存在實(shí)數(shù)m滿足：α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，并且使得不等式|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）y=f（x）圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M（a，0），f′（x）=2x-a
y=g（x-1）=ln（x-1）圖象與x軸的交點(diǎn)N（2，0），g′（x-1）=
由題意可得k=k，即a=1，…（2分）
∴f（x）=x²-x，f（2）=2²-2=2 …（3分）
（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]²-（xlnx+t）
=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，
…（4分）
令u=xlnx，在 x∈[1，e]時(shí)，u′=lnx+1＞0，
∴u=xlnx在[1，e]單調(diào)遞增，0≤u≤e …（5分）
u²+（2t-1）u+t²-t圖象的對(duì)稱軸u=，拋物線開(kāi)口向上
①當(dāng)u=≤0即t時(shí)，y最小=t²-t 　…（6分）
②當(dāng)u=≥e即t時(shí)，y最小=e²+（2t-1）e+t²-t …（7分）
③當(dāng)0＜＜e即時(shí)，
y最小=y=- …（8分）
（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F(xiàn)′（x）=
所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增 　　…（9分）
∴當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0
①當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，有
α=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α=mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得α∈（x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂），…（10分）
∴由f（x）的單調(diào)性知 0＜F（x₁）＜F（α）、f（β）＜f（x₂）
從而有|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|，符合題設(shè)．…（11分）
②當(dāng)m≤0時(shí)，，
α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，
β=mx₂+（1-m）x₁≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
由f（x）的單調(diào)性知，
F（β）≤F（x₁）＜f（x₂）≤F（α）
∴|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設(shè)不符 …（12分）
③當(dāng)m≥1時(shí)，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
得|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設(shè)不符．…（13分）
∴綜合①、②、③得 m∈（0，1）…（14分）
說(shuō)明：各題如有其它解法，按照相應(yīng)的步驟給分．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值，從而得到f（2）的值；
（2）令u=xlnx，再研究二次函數(shù)u²+（2t-1）u+t²-t圖象是對(duì)稱軸u=，開(kāi)口向上的拋物線，結(jié)合其性質(zhì)求出最值；
（3）先由題意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用導(dǎo)數(shù)工具研究所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，得到當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，下面對(duì)m進(jìn)行分類討論：①當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，②當(dāng)m≤0時(shí)，③當(dāng)m≥1時(shí)，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．