Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+（n=2，3，4，…）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）證明當(dāng)n=2，3，4，…時，＜a_n≤．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a₁=1代入已知遞推關(guān)系式即可得a₂，再將a₂代入即可得a₃，
（2）利用不等式的性質(zhì)和累加法的思想，分別將的通項(xiàng)公式放大和縮小即可
解答：解：（1）∵a₁=1
∴a₂=a₁+=1+1=2，a₃==2+=
（2）當(dāng)k=2，3，4，5…時，==+2＞+2
∴
∴=＞2（n-1）
∴＞+2（n-1）=2n-1
∴     ①
又∵，a₁=1，a_k=a_k-1+（k=2，3，4，…），∴a_k-1＞0，∴a_k＞a_k-1≥a₁=1
∴==2（n-1）+≤2（n-1）+（n-1）×1=3n-3
∴≤3n-3+=3n-2
∴a_n≤．   ②
由①②得：n=2，3，4，…時，＜a_n≤．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，由數(shù)列的遞推公式研究數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，累加法求和的思想，放縮法證明數(shù)列不等式