Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n=n²-n，且a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）
（I）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）若c_n≤m²+m-1對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由T_n=n²-n，先求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；代入到a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）把第一問求出的兩數(shù)列的通項(xiàng)公式代入c_n=a_n•b_n中，確定出c_n的通項(xiàng)公式，從而求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）表示出c_n+1-c_n，判斷得到其差小于0，故數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，令n=1求出數(shù)列{c_n}的最大值，然后原不等式的右邊大于等于求出的最大值，列出關(guān)于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即為實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）由T_n=n²-n，易得a_n=3n-2代入到a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡b_n=（n∈N^*），
（II）c_n=a_n•b_n=，∴∴
兩式相減整理得
（III）c_n=a_n•b_n=（3n-2）•∴c_n+1-c_n=（3n+1）•-（3n-2）•=9（1-n）•（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，c₂=c₁=，
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＞c₃＞…＞c_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，c_n取最大值是，又c_n≤m²+m-1對一切正整數(shù)n恒成立∴m²+m-1≥，即m²+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．
點(diǎn)評：此題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及數(shù)列與不等式的綜合．要求學(xué)生熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及不等式恒成立時(shí)滿足的條件．