Question

將函數(shù)f（x）=log₂（x+1）的圖象向左平移1個(gè)單位，再將圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式和定義域；
（2）求函數(shù)y=F（x）=f（x-1）-g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換規(guī)律求得函數(shù)g（x）的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=F（x）=，令，則利用基本不等式求得u的最大值為，再由F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數(shù)，求得函數(shù)y=F（x）的最大值．
解答：解：（1）將函數(shù)f（x）=log₂（x+1）的圖象向左平移1個(gè)單位，可得函數(shù)y=log₂（x+2）的圖象，
再將圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=2log₂（x+2）的圖象，
故函數(shù)g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．…（4分）
（2）函數(shù)y=F（x）=f（x-1）-g（x）=log₂（x）-2log₂（x+2）=．…（6分）
令，則u==≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數(shù)，…（10分）
故當(dāng)x=2時(shí)，即u=時(shí)，函數(shù)y=F（x）=log₂u取得最大值為 =-3． …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，基本不等式的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．