Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且，其中m是與n無關(guān)的常數(shù)，且m≠0，n∈N^*．
（I）證明：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（II）設(shè)b_n=3n+1-a_n，當m≥2時，求數(shù)列{b_n}的最大值f（m），并求f（m）的最大值．

Answer 1

解：（I）因為①
所以②（2分）
由②-①，得
化簡得，，（6分）
又n=1時，a₁=2^m+1，（7分）
所以{a_n-1}是以a₁=2^m+1為首項，2^m為公比的等比數(shù)列．（8分）
（II）由（I）得a_n=2^mn+1，（9分）
因為b_n=3n+1-a_n=3n-2^mn，
所以b_n+1=3（n+1）-2^m（n+1），
因此b_n+1-b_n=3-2^mn（2^m-1），（11分）
因為m≥2，所以2^m-1≥3，2^mn＞1，
所以b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n對n∈N^*恒成立，
所以f（m）=b₁=3-2^m，（14分）
從而f（m）_max=3-4=-1．（16分）
（若設(shè)f（x）=3x-（2^m）^x，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)為減函數(shù)同樣得滿分．）
分析：（I）利用已知所給的遞推公式及a_n+1=S_n+1-S_n可得得，整理可得，及a₁=2^m+1，可證
（II））由（I）得a_n=2^mn+1由b_n=3n+1-a_n=3n-2^mn，可得b_n+1=3（n+1）-2^m（n+1），從而可得b_n+1-b_n=3-2^mn（2^m-1）由m≥2，可得2^m-1≥3，2^mn＞1，即b_n+1＜b_n對n∈N^*恒成立，f（m）=b₁=3-2^m，從而可求f（m）_max
點評：（1）利用定義是證明數(shù)列為等比數(shù)列的常用方法，另外等比數(shù)列的等比中項法的應(yīng)用也要主要掌握．
（2）利用作差法證明數(shù)列的單調(diào)性進而求解數(shù)列的最值問題是解決此題的關(guān)鍵．