Question

【題目】若正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為，且當(dāng)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列時(shí)，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：數(shù)列為“數(shù)列”；

（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且對(duì)任意，、、成等差數(shù)列，公差為.

①求與間的關(guān)系；

②若數(shù)列為遞增數(shù)列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，，結(jié)合題中定義可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)數(shù)列為“數(shù)列”，可求得，再由、、成等差數(shù)列可得出，由此計(jì)算出，即可得解；

②推導(dǎo)出，利用累加法可分別求出和的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列可得出對(duì)恒成立，由此可求得的取值范圍.

（1），且，，，

所以，數(shù)列的首項(xiàng)為且是公比為的等比數(shù)列，故為“數(shù)列”；

（2）①數(shù)列為“數(shù)列”，，，

而、、成等差數(shù)列，，

；

②由①知，，，，，

所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別遞增，

，

，

，，

，

因?yàn)椋瑪?shù)列單調(diào)遞增，對(duì)恒成立，

，

故的取值范圍為.