Question

2．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2C+cos（A+B）=0．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若a=4$\sqrt{3}$sinA，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式和誘導公式即可求出sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，問題得以解決，
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理和余弦定理和基本不等式求出ab≤36，再根據(jù)面積公式計算即可

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2C+cos（A+B）=0，得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinCcosC-cosC=0．
∵C為銳角，
∴cosC＞0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=4$\sqrt{3}$，
∴c=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
由余弦定理可得36=a²+b²-2ab×$\frac{1}{2}$，
∴36=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，當且僅當a=b時取等號，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×36=9$\sqrt{3}$，
故△ABC面積的最大值為9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡和正弦定理余弦定理和三角形的面積公式，考查了學生的運算能力，屬于中檔題