已知函數(shù)f(x)=(
1
4
)x+
1
2
-(
1
2
)x-2+5．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
分析：（Ⅰ）依題意，f（x）＞5?(
1
4
)x+
1
2
＞(
1
2
)x-2，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解之即可；
（Ⅱ）令t=(
1
2
)x，將f（x）=(
1
2
)2x+1-(
1
2
)x-2+5轉(zhuǎn)化為y=
1
2
t2-4t+5（t＞0），利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．
解答：解：（Ⅰ）∵(
1
4
)x+
1
2
-(
1
2
)x-2+5＞5，
∴(
1
4
)x+
1
2
＞(
1
2
)x-2．…（2分）
所以[(
1
2
)2]x+
1
2
＞(
1
2
)x-2．
即(
1
2
)2x+1＞(
1
2
)x-2．…（4分）
從而2x+1＜x-2，解之得x＜-3．…（7分）
所以不等式f（x）＞5的解集為（-∞，-3）．…（8分）
（Ⅱ）∵(
1
4
)x+
1
2
-(
1
2
)x-2+5
=(
1
2
)2x+1-(
1
2
)x-2+5
=
1
2
•(
1
2
)2x-(
1
2
)-2•(
1
2
)x+5
=
1
2
•[(
1
2
)x]2-4•(
1
2
)x+5…（10分）
設(shè)t=(
1
2
)x，則y=
1
2
t2-4t+5（t＞0），…（11分）
即y=
1
2
（t-4）2-3．…（12分）
當(dāng)t∈（0，4]，即x∈[-2，+∞）時，y是t的減函數(shù)，t是x的減函數(shù)；…（13分）
當(dāng)t∈[4，+∞），即x∈（-∞，-2]時，y是t的增函數(shù)，t是x的減函數(shù)；…（14分）
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2]．…（16分）
點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的運用，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，則a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定義域上的遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù)．則實數(shù)a的值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中實數(shù)a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案