四面體ABCD中,AD=BC=a,　BD=AC=b,　AB=CD=c,以它們?yōu)槔?相應(yīng)兩個(gè)面為面的二面角依次為α、β、γ.?

       (1)求證:;?

       (2)求四面體ABCD的體積;?

       (3)若a=5,b=4,c=6,求α的正弦值;?

       (4)求AD與平面BCD所成的角〔條件同(3)〕;?

       (5)條件同(3),求四面體的外接球半徑.

(1)證明:作CE⊥AD交AD于E.?

作CH⊥面ABD交ABD于H.?

連結(jié)EH,記CH長(zhǎng)為h,CE為ha.?

∵CH⊥面ABD,CE⊥AD,?

∴HE⊥AD,sinα=.?

又a·ha·=S,?

∴.?

為常量.同理,.?

∴.?

(2)解析：過(guò)點(diǎn)C作GF∥DB.C為GF中點(diǎn),連結(jié)GD并延長(zhǎng)至E.DE=DG.連結(jié)EF、AE、AG、AF.

∵AC=GF,∴AG⊥AF.?

同理可得EA⊥FA,AE⊥AG.?

設(shè)AE=x,AF=z,AG=y.?

解得

∴VE—AGF?=xyz,?

VA—DBC?=VE—AGF?,?

VABCD?=.?

 

(3)解析：V=?

=×5×3×3=.?

cosθ=.?

∴S=sinθab=××5×4=.?

∴d=.∴sinα=.?

(4)解析：設(shè)所成角為γ.?

sinγ=.?

(5)解析：把四面體ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體,設(shè)其邊長(zhǎng)為x、y、z,則有?

x2+y2=a2,                  ①?

y2+z2=b2,                  ②?

z2+x2=c2.                  ③?

(①+②+③),得(2R)2=a2+b2+c2.?

∴R=.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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在四面體ABCD中，設(shè)AB=1，CD=2且AB⊥CD，若異面直線AB與CD間的距離為2，則四面體ABCD的體積為（　�。�
A、
1
3
B、
1
2
C、
2
3
D、
4
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

四面體ABCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩互相垂直，且其長(zhǎng)分別為1，
6
，3．若四面體的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的半徑為
 
，其體積為
 
．

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（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

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（2）設(shè)
DEDB
=λ(0＜λ＜1)，問(wèn)λ為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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34
，
41
，5則此四面體ABCD的外接球的半徑R為（　�。�

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