Question

已知數(shù)列{a_n滿足a₁=

2

5

，且對任意n∈N*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）試問數(shù)列{a_n}中a_k•a_k+1是否仍是{a_n}中的項？如果是，請指出是數(shù)列的第幾項；如果不是，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，
所以數(shù)列{

1

an

}是

5

2

為首項，公差

3

2

的等差數(shù)列．                     …（4分）
可得數(shù)列{

1

an

}的通項公式

1

an

=

3n+2

2

，所an=

2

3n+2

．…（6分）
（Ⅱ）ak•ak+1=

2

3k+2

•

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．                        …（8分）
因為

3k2+7k+2

2

=k2+3k+1+

k(k+1)

2

，…（10分）
k是正整數(shù)時，

k(k+1)

2

一定是正整數(shù)，所以

3 k2+7k+2

2

是正整數(shù)．
（也可以從k的奇偶性來分析）
所以a_k•a_k+1是數(shù){a_n}中的項，是

3k2+7k+2

2

項．                 …（12分）