Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f′（a_n），求數(shù)列{a_n}的通項公式；及前n項和S_n
（Ⅱ）已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=t＞0，b_n+1=f（b_n）（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，易求a_n+1=f′（a_n）=2a_n+2，從而得

an+1+2

an+2

=2，結(jié)合已知有：數(shù)列{a_n+2}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；利用分組求和法即可求得前n項和S_n；
（Ⅱ）依題意，可求b_n+1+1=(bn+1)2，兩端取對數(shù)，可證數(shù)列{lg（b_n+1）}是首項為lg（t+1），公比為2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2x，
∴f′（x）=2x+2，
∴a_n+1=f′（a_n）=2a_n+2，
∴

an+1+2

an+2

=2，又a₁+2=3，
∴數(shù)列{a_n+2}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=3×2^n-1，
∴a_n=3×2^n-1-2；
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=3（1+2+2²+…+2^n-1）-2n
=3×

1-2n

1-2

-2n
=3×2ⁿ-2n-3．
（Ⅱ）∵b_n+1=f（b_n）=bn2+2b_n，
∴b_n+1+1=(bn+1)2，
兩邊取對數(shù)：lg（b_n+1+1）=2lg（b_n+1），
∴

lg(bn+1+1)

lg(bn+1)

=2
∴數(shù)列{lg（b_n+1）}是公比為2的等比數(shù)列，
又lg（b₁+1）=lg（t+1），
∴l(xiāng)g（b_n+1）=lg（t+1）•2^n-1=lg(t+1)2n-1，
∴b_n+1=(t+1)2n-1，
∴b_n=(t+1)2n-1-1．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定及分組求和的應用，（Ⅱ）中對b_n+1+1=(bn+1)2兩端取對數(shù)是關(guān)鍵，也是難點，考查分析、運算與應用能力，屬于難題．