Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a+b）cosC+ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）求sinAcosB的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡已知的式子，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角C的大小；
（Ⅱ）由（I）和內(nèi)角和定理表示出B，并求出A的范圍，代入sinAcosB后，由兩角差的余弦公式、正弦公式化簡后，由A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，（2a+b）cosC+ccosB=0，
∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
則2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，
即sin（B+C）=-2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴1=-2cosC，得cosC=$-\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，∴C=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由（I）得C=$\frac{2π}{3}$，則A+B=π-C=$\frac{π}{3}$，
即B=$\frac{π}{3}$-A，所以$0＜A＜\frac{π}{3}$，
∴sinAcosB=sinAcos（$\frac{π}{3}$-A）
=sinA（cos$\frac{π}{3}$cosA+sin$\frac{π}{3}$sinA）=sinA（$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）
=$\frac{1}{4}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1-cos2A}{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}sin2A-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2A$）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵$0＜A＜\frac{π}{3}$，∴$-\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}＜\frac{π}{3}$，
則$-\frac{\sqrt{3}}{2}＜sin（2A-\frac{π}{3}）＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{4}＜\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}＜\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴sinAcosB的取值范圍是$（\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}）$．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理，兩角和與差的正弦公式、兩角差的余弦公式、內(nèi)角和定理等，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，整體思想，化簡、變形能力．