Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線方程算出|OF|=

p

2

，設以MF為直徑的圓過點A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=

4+ p2 4

．再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關系式，從而得到關于p的方程，解之得到實數(shù)p的值，進而得到拋物線C的方程．

解答： 解：∵拋物線C方程為y²=2px（p＞0）
∴焦點F坐標為（

p

2

，0），可得|OF|=

p

2

∵以MF為直徑的圓過點（0，2），
∴設A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=

4+ p2 4

∴sin∠OAF=

|OF|

|AF|

=

p 2

4+ p2 4

∵根據(jù)拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF=

|AF|

|MF|

=

p 2

4+ p2 4

，
∵|MF|=5，|AF|=

4+ p2 4

∴

4+ P2 4

5

=

p 2

4+ p2 4

，整理得4+

p2

4

=

5p

2

，解之可得p=2或p=8
因此，拋物線C的方程為y²=4x或y²=16x
故答案為：y²=4x或y²=16x

點評：本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF，以MF為直徑的圓交拋物線于點（0，2），求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)和解直角三角形等知識，屬于中檔題．