Question

14．函數(shù)f（x）=lnx-ax²（a∈R）．
（1）討論f（x）的零點個數(shù)；
（2）設函數(shù)h（x）=（1-a）x²-kx-f（x），對任意的m，n＞0（m≠n），存在c＞0，使得h′（c）=$\frac{h（m）-h（n）}{m-n}$，求證：$\sqrt{mn}$＜c＜$\frac{m+n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=lnx-ax²（a∈R）的零點個數(shù)?方程lnx-ax²=0的解（正實數(shù)）的個數(shù)
?$a=\frac{lnx}{{x}^{2}}$的解的個數(shù)?函數(shù)y=a，G（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$的圖象交點個數(shù)．利用導數(shù)求出單調(diào)性，畫出草圖即可求解．
（2）h（x）=（1-a）x²-kx-f（x）=x²-kx-lnx，h′（x）=2x-$\frac{1}{x}-k$在（0，+∞）單調(diào)遞增，
不妨設m＞n＞0，則$\sqrt{mn}$＜c＜$\frac{m+n}{2}$?$h′（\sqrt{mn}）＜h′（c）=\frac{h（m）-h（n）}{m-n}＜$h′（$\frac{m+n}{2}$）．
?m+n-$\frac{lnm-lnn}{m-n}$-k＜m+n-$\frac{2}{m+n}-k$…①，2$\sqrt{mn}$-$\frac{1}{\sqrt{mn}}$-k＜m+n-$\frac{lnm-lnn}{m-n}$-k…②
分別對①②時求證即可．

解答 解：（1），函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
函數(shù)f（x）=lnx-ax²（a∈R）的零點個數(shù)?方程lnx-ax²=0的解（正實數(shù)）的個數(shù)
?$a=\frac{lnx}{{x}^{2}}$的解的個數(shù)?函數(shù)y=a，G（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$的圖象交點個數(shù)．
G′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，令G′（x）=0得x=$\sqrt{e}$
x$∈（0，\sqrt{e}）$時，G′（x）＞0，x$∈（\sqrt{e}$，+∞）時，G′（x）＜0，∴函數(shù)G（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞增，在（$\sqrt{e}，+∞$）遞減，
且x＞1時．G（x）＞0，x＜1時，G（x）＜0，G（x）max=G（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
其草圖如下：由圖象可知：
$a＞\frac{1}{2e}$時，函數(shù)f（x）無零點，0＜a＜$\frac{1}{2e}$時，又兩個零點，a=$\frac{1}{2e}$時，有有一個零點．


證明：（2）h（x）=（1-a）x²-kx-f（x）=x²-kx-lnx，h′（x）=2x-$\frac{1}{x}-k$在（0，+∞）單調(diào)遞增，
不妨設m＞n＞0，則$\sqrt{mn}$＜c＜$\frac{m+n}{2}$?$h′（\sqrt{mn}）＜h′（c）=\frac{h（m）-h（n）}{m-n}＜$h′（$\frac{m+n}{2}$）．
?m+n-$\frac{lnm-lnn}{m-n}$-k＜m+n-$\frac{2}{m+n}-k$…①，2$\sqrt{mn}$-$\frac{1}{\sqrt{mn}}$-k＜m+n-$\frac{lnm-lnn}{m-n}$-k…②
由①得$\frac{lnm-lnn}{m-n}＞\frac{2}{m+n}$?$ln\frac{m}{n}＞\frac{2（m-n）}{m+n}=\frac{\frac{m}{n}-1}{\frac{m}{n}+1}$，
令t=$\frac{m}{n}$＞1，可構造函數(shù)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），g′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）}＞$0，則g（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，即g（t）＞g（1）=0，故①成立．
在②中∵$m+n＞2\sqrt{mn}$成立，只需證明$\frac{1}{\sqrt{mn}}＞\frac{lnm-lnn}{m-n}$?ln$\frac{m}{n}$＜$\frac{m-n}{\sqrt{mn}}$=$\sqrt{\frac{m}{n}}-\sqrt{\frac{n}{m}}$，
令$\sqrt{\frac{m}{n}}=t$＞1，可構造函數(shù)φ（t）=2lnt-（t-$\frac{1}{t}$）（t＞1），φ′（t）=-$\frac{（t-1）^{2}}{{t}^{2}}$＜0，函數(shù)φ（t）在（1，+∞）單調(diào)遞減，即φ（t）＜φ（1）=0，故②成立．
綜上，原結論成立

點評 該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和函數(shù)的零點，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，該題運算量大，綜合性強，能力要求高，屬于壓軸題．