Question

設不共線的向量

α

，

β

，滿足

α

•

β

=0，且有|

α

|=|

β

|=1，2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

||，求當|

γ

|最大時，|

α

-

γ

|的值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由滿足

α

•

β

=0，可得

α

⊥

β

．又|

α

|=|

β

|=1，不妨設

α

=（1，0），

β

=（0，1）．由2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

|，利用向量夾角公式可得cos＜

α

-

γ

，

β

-

γ

＞=

1

2

．如圖所示，設

OP

=

γ

．可知：點P在劣弧

BPA

上，且∠APB對于弦AB張開的角滿足∠APB=60°．由圖可知：當且僅當OP⊥AB時，|

γ

|取得最大值，此時△APB為等邊三角形．即可得出．

解答： 解：由滿足

α

•

β

=0，∴

α

⊥

β

．
又|

α

|=|

β

|=1，
不妨設

α

=（1，0），

β

=（0，1）．
由2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

|，
∴cos＜

α

-

γ

，

β

-

γ

＞=

( α - γ )•( β - γ )

| α - γ | | β - γ |

=

1

2

．
如圖所示，
設

OP

=

γ

．
則點P在劣弧

BPA

上，且∠APB對于弦AB張開的角滿足∠APB=60°．
由圖可知：當且僅當OP⊥AB時，|

γ

|取得最大值，此時△APB為等邊三角形．
此時|

α

-

γ

|=|

AP

|=|

AB

|=

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查了向量的夾角公式、向量的三角形法則、圓的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、數(shù)量積的性質(zhì)等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．