Question

若四面體各棱長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是________．(只須寫(xiě)出一個(gè)可能的值)

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：該題的顯著特點(diǎn)是結(jié)論發(fā)散而不惟一．本題表面上是考查錐體求積公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個(gè)四面體的能力，首先得考慮每個(gè)面的三條棱是如何構(gòu)成的．

　　排除{1，1，2}，可得{1，1，1}，{1，2，2}，{2，2，2}，然后由這三類(lèi)面在空間構(gòu)造滿(mǎn)足條件的一個(gè)四面體，再求其體積．

　　由平時(shí)所見(jiàn)的題目，至少可構(gòu)造出二類(lèi)滿(mǎn)足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為1，對(duì)棱相等的四面體．

　　對(duì)于五條邊為2，另一邊為1的四面體，參看下圖所示，設(shè)AD＝1，取AD的中點(diǎn)為M，平面BCM把三棱錐分成兩個(gè)三棱錐，由對(duì)稱(chēng)性可知AD⊥面BCM，且V_A－BCM＝V_D－BCM，所以

　　V_ABCD＝S_ΔBCM·AD．

　　CM＝＝＝．設(shè)N是BC的中點(diǎn)，則MN⊥BC，MN＝＝＝，從而S_ΔBCM＝×2×＝，

　　故V_ABCD＝××1＝．

　　對(duì)于對(duì)棱相等的四面體，可參見(jiàn)下圖其體積的計(jì)算可先將其置于一個(gè)長(zhǎng)方體之中，再用長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)小三棱錐的體積來(lái)進(jìn)行．亦可套公式V＝·，

　　不妨令a＝b＝2，c＝1，則

　　V＝·

　�。�·＝．