設四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥面ABCD，PA=AB，E為PD的中點．
（1）求證：直線PB∥面ACE
（2）求證：直線AE⊥面PCD
（3）求直線AC與平面PCD所成角的大小．
（1）連接BD交AC于點O，連接OE
易知：O為BD的中點
而E為PD的中點
∴OE∥PB
又PB不在平面ACE內(nèi)，OE在平面ACE內(nèi)
∴PB∥平面ACE…（4分）
（2）證明：∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又正方形ABCD
∴CD⊥AD
∴CD⊥面PAD故：CD⊥AE
∵在直角三角形PAD中，PA=AB=AD，E為PD的中點∴AE⊥PD
∴AE⊥面PCD…（8分）
（3）由（2）知：AC在面PCD內(nèi)的射影為CE
故直線AC與平面PCD所成角為∠ACE…（10分）
由于PA=AB=AD=2，在直角三角形ACF中，易知：AE=
2
，AC=2
2

∴sin∠ACE=
AE
AC
=
1
2
∴∠ACE=30°
即：直線AC與平面PCD所成角的大小為30°…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點．證明
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別AB，BC，CD，AD的中點，求證：EH∥平面BCD．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC，底面ABC為邊長為2
3
的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（Ⅰ）求證DO∥面PBC；
（Ⅱ）求證：BD⊥AC；
（Ⅲ）求面DOB截三棱錐P-ABC所得的較大幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，C1D1，D1D，CD的中點，N是BC的中點，M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運動，若MN∥平面A1BD，則點M軌跡的長度是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的所有棱長均為2，G為AF的中點．
（1）求證：F1G∥平面BB1E1E；
（2）求證：平面F1AE⊥平面DEE1D1；
（3）求四面體EGFF1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF=90°．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）若矩形ABCD的一個邊AB=
3
，EF=2
3
，則另一邊BC的長為何值時，三棱錐F-BDE的體積為
3
？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB、PB的中點．
（1）求證：DE∥平面PAC；
（2）求證：AB⊥PB．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖（1）在正方形SG1G2G3中，E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體如圖（2），使G1，G2，G3三點重合于G，下面結論成立的是（　�。�
A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．DG⊥平面SEF

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