橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，P(m，0)為C的長軸上的一個動點，過P點斜率為的直線l交C于A、B兩點.當m＝0時，

(1)求C的方程；

(2)證明：為定值.

 

(1)；(2)41

【解析】試題分析：(1)用坐標表示向量，利用＝－可求的橢圓相關數(shù)據(jù)，從而得到方程；(2)將|PA|2＋|PB|2通過坐標轉(zhuǎn)化為m的表達式，證明該表達式與m的值無關.

試題解析：(Ⅰ)因為離心率為，所以＝．

當m＝0時，l的方程為y＝x，

代入并整理得x2＝． 2分

設A(x0，y0)，則B(－x0，－y0)，

＝－－＝－＝－·．

又因為＝－，所以a2＝25，b2＝16，

橢圓C的方程為． 5分

(Ⅱ)l的方程為x＝y＋m，代入并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則|PA|2＝(x1－m)2＋＝，同理|PB|2＝． 8分

則|PA|2＋|PB|2＝ (＋)＝ [(y1＋y2)2－2y1y2]

＝ [(－)2－]＝41．

所以，|PA|2＋|PB|2是定值． 12分

考點:橢圓的標準方程及其性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，平面向量，定值問題

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河南省高三上學期第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元，設該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且

（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)品（千件）的函數(shù)解析式；

（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河北省高二下學期第一次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

如果隨機變量，且，則（ ）

A． B． C． D．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河北省高二下學期第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

一名小學生的年齡和身高（單位：cm)的數(shù)據(jù)如下：

年齡

6

7

8

9

身高

118

126

136

144

由散點圖可知，身高與年齡之間的線性回歸直線方程為，預測該學生10歲時的身高為( )

A．154 B. 153 C.152 D. 151

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河北省高二下學期第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

設為虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)為( )

A． B． C． D．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河北省唐山市高三年級摸底考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線l：垂直，C的一個焦點到l的距離為1，則C的方程為__________________.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河北省唐山市高三年級摸底考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知a＞0，x，y滿足約束條件，且z＝2x＋y的最小值為1，則a＝( )

A.1 B.2 C. D.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河北省唐山市高三年級摸底考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線l：垂直，C的一個焦點到l的距離為1，則C的方程為__________________.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆河北省高二下學期期中考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

在極坐標系中，動點P(ρ，θ)運動時，ρ與成反比，動點P的軌跡經(jīng)過點(2,0)．

(1)求動點P的軌跡的極坐標方程；

(2)將(1)中極坐標方程化為直角坐標方程，并指出軌跡是何種曲線．

 

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