Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）是函數(shù)f（x）=x³-|x|圖象上的兩個不同點，且在A，B兩點處的切線互相平行，則

x2

x1

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：創(chuàng)新題型

分析：首先把含有絕對值的函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，然后求導，通過在A，B兩點處的切線互相平行，即在A，B兩點處的導數(shù)值相等，分析出A點在y軸的右側(cè)，B點在y軸的左側(cè)．根據(jù)A，B兩點處的導數(shù)相等，得到x₁與x₂的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式得出它表示的曲線，然后利用式子的幾何意義求解．

解答： 解：由題意，f（x）=x³-|x|=

x3-x， x≥0 x3+x， x＜0

，
   當x≥0時，f′（x）=3x²-1，
   當x＜0時，f′（x）=3x²+1，
  因為在A，B兩點處的切線互相平行，且x₁＞x₂，
  所以x₁＞0，x₂＜0 （否則根據(jù)導數(shù)相等得出A、B兩點重合），
  所以在點A（x₁，y₁）處切線的斜率為f′（x₁）=3x12-1，
  在點B（x₂，y₂）處切線的斜率為f′（x₂）=3x22+1
  所以3x12-1=3x22+1，
  即

x12

2 3

-

x22

2 3

=1，（x₁＞x₂，x₂＜0）
  表示的曲線為雙曲線在第四象限的部分，如圖：
 

x2

x1

表示這個曲線上的點與原點連線的斜率，
  由圖可知

x2

x1

取值范圍是（-1，0），故答案為：（-1，0）．

點評：本題考查了導數(shù)在研究切線方面的應用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合性較強，難度較大．本題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化成圖形的幾何意義求解．