Question

如圖，P是拋物線(xiàn)C：y=x²上一點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線(xiàn)C交于另一點(diǎn)Q．
（Ⅰ）若直線(xiàn)l與過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)垂直，求線(xiàn)段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y），欲求點(diǎn)M的軌跡方程，即尋找其坐標(biāo)的關(guān)系，可通過(guò)另外兩點(diǎn)P，Q與中點(diǎn)M的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，
（2）欲的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為將其表示成某變量的表達(dá)式，然后再求此表達(dá)式的最值問(wèn)題，另外，為了化簡(jiǎn)比例式，一般將線(xiàn)段投影到坐標(biāo)軸上的線(xiàn)段解決．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），依題意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=x²，①
得y'=x．
∴過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的斜率k=x₁，
∴直線(xiàn)l的斜率k_l=-=-，
∴直線(xiàn)l的方程為y-x₁²=-（x-x₁），②
聯(lián)立①②消去y，得x²+x-x₁²-2=0．
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)
∴x==-，y=x₁²-（x-x₁）
消去x₁，得y=x²++1（x≠0），
∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x²++1（x≠0）．

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T（0，b）．
分別過(guò)P、Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥y軸，垂足分別為P'、Q'，則=．
由y=x²，y=kx+b消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0．③
則y₁+y₂=2（k²+b），y₁y₂=b²．
∴=|b|（）≥2|b|=2|b|=2．
∵y₁、y₂可取一切不相等的正數(shù)，
∴的取值范圍是（2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)、拋物線(xiàn)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．