精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知橢圓C：（0＜b＜2）的離心率為，F為橢圓的右焦點，PQ為過中心O的弦．

（1）求面積的最大值；

（2）動直線與橢圓交于A，B兩點，證明：在第一象限內存在定點M，使得當直線AM與直線BM的斜率均存在時，其斜率之和是與t無關的常數，并求出所有滿足條件的定點M的坐標．

【答案】（1），（2）證明見詳解，定點的坐標為.

【解析】

（1）先由條件得出，，然后的面積等于和的面積之和，設點到軸的距離為，，然后即可分析出答案

（2）設，將代入得，則有，然后可推出，當，時斜率的和恒為0，然后解出即可.

（1）設橢圓的半焦距為，則

由得，所以

又由的面積等于和的面積之和，

設點到軸的距離為，由是過橢圓的中心的弦，則點到軸的距離也為

所以和的面積相等，所以

因為的最大值為，所以的最大面積為

（2）由（1）知橢圓

設

將代入得

則有

直線AM與直線BM的斜率之和：

為與無關的常數，可知當，時斜率的和恒為0，

解得或（舍）

綜上所述：所有滿足條件的定點的坐標為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數的單調區(qū)間及極值；

（2）討論函數的零點個數.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】盒中有形狀、大小都相同的2個紅色球和3個黃色球，從中取出一個球，觀察顏色后放回并往盒中加入同色球4個，再從盒中取出一個球，則此時取出黃色球的概率為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓上的點和長軸兩端點為頂點的三角形的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）經過定點的直線交橢圓于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為，試證明：直線與軸的交點為一個定點，且（為原點）．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜歡,而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產和批發(fā)多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當地的習俗是農歷正月不生產魚卷,客戶正月所需要的魚卷都會在上一年農歷十二月底進行一次性采購小張把去年年底采購魚卷的數量x(單位:箱)在的客戶稱為“熟客”,并把他們去年采購的數量制成下表:

采購數x

客戶數

10

10

5

20

5

(1)根據表中的數據作出頻率分布直方圖,并估計采購數在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數;

(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數量占小張去年年底總的銷售量的,估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表);

(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場調查,決定今年年底是否在網上出售魚卷,若不在網上出售魚卷,則按去年的價格出售,每箱利潤為20元,預計銷售量與去年持平;若在網上出售魚卷,則需把每箱售價下調2至5元,且每下調m元()銷售量可增加1000m箱,求小張今年年底收入Y(單位:元)的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，滿足，則（ ）

A.函數有2個極小值點和1個極大值點

B.函數有2個極大值點和1個極小值點

C.函數有可能只有一個零點

D.有且只有一個實數，使得函數有兩個零點

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若數列對任意連續(xù)三項，均有，則稱該數列為“跳躍數列”.

（1）判斷下列兩個數列是否是跳躍數列：

①等差數列：；

②等比數列：；

（2）若數列滿足對任何正整數，均有.證明：數列是跳躍數列的充分必要條件是.

（3）跳躍數列滿足對任意正整數均有，求首項的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

(1)當時，求證：；

(2)討論函數在R上的零點個數，并求出相對應的a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，，.

（1）求證：平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（3）求點E到平面ACD的距離。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案