【題目】已知橢圓C:(0<b<2)的離心率為,F為橢圓的右焦點(diǎn),PQ為過中心O的弦.
(1)求面積的最大值;
(2)動直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),證明:在第一象限內(nèi)存在定點(diǎn)M,使得當(dāng)直線AM與直線BM的斜率均存在時,其斜率之和是與t無關(guān)的常數(shù),并求出所有滿足條件的定點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1),(2)證明見詳解,定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【解析】
(1)先由條件得出,,然后的面積等于和的面積之和,設(shè)點(diǎn)到軸的距離為,,然后即可分析出答案
(2)設(shè),將代入得,則有,然后可推出,當(dāng),時斜率的和恒為0,然后解出即可.
(1)設(shè)橢圓的半焦距為,則
由得,所以
又由的面積等于和的面積之和,
設(shè)點(diǎn)到軸的距離為,由是過橢圓的中心的弦,則點(diǎn)到軸的距離也為
所以和的面積相等,所以
因?yàn)?/span>的最大值為,所以的最大面積為
(2)由(1)知橢圓
設(shè)
將代入得
則有
直線AM與直線BM的斜率之和:
為與無關(guān)的常數(shù),可知當(dāng),時斜率的和恒為0,
解得或(舍)
綜上所述:所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】盒中有形狀、大小都相同的2個紅色球和3個黃色球,從中取出一個球,觀察顏色后放回并往盒中加入同色球4個,再從盒中取出一個球,則此時取出黃色球的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且以橢圓上的點(diǎn)和長軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)經(jīng)過定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)、,點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,試證明:直線與軸的交點(diǎn)為一個定點(diǎn),且(為原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜歡,而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當(dāng)?shù)氐牧?xí)俗是農(nóng)歷正月不生產(chǎn)魚卷,客戶正月所需要的魚卷都會在上一年農(nóng)歷十二月底進(jìn)行一次性采購小張把去年年底采購魚卷的數(shù)量x(單位:箱)在的客戶稱為“熟客”,并把他們?nèi)ツ瓴少彽臄?shù)量制成下表:
采購數(shù)x |
| ||||
客戶數(shù) | 10 | 10 | 5 | 20 | 5 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖,并估計采購數(shù)在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數(shù);
(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數(shù)量占小張去年年底總的銷售量的,估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場調(diào)查,決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷,若不在網(wǎng)上出售魚卷,則按去年的價格出售,每箱利潤為20元,預(yù)計銷售量與去年持平;若在網(wǎng)上出售魚卷,則需把每箱售價下調(diào)2至5元,且每下調(diào)m元()銷售量可增加1000m箱,求小張今年年底收入Y(單位:元)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),滿足,則( )
A.函數(shù)有2個極小值點(diǎn)和1個極大值點(diǎn)
B.函數(shù)有2個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)
C.函數(shù)有可能只有一個零點(diǎn)
D.有且只有一個實(shí)數(shù),使得函數(shù)有兩個零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列對任意連續(xù)三項,均有,則稱該數(shù)列為“跳躍數(shù)列”.
(1)判斷下列兩個數(shù)列是否是跳躍數(shù)列:
①等差數(shù)列:;
②等比數(shù)列:;
(2)若數(shù)列滿足對任何正整數(shù),均有.證明:數(shù)列是跳躍數(shù)列的充分必要條件是.
(3)跳躍數(shù)列滿足對任意正整數(shù)均有,求首項的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求證:;
(2)討論函數(shù)在R上的零點(diǎn)個數(shù),并求出相對應(yīng)的a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),,.
(1)求證:平面BCD;
(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;
(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離。
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