Question

畫出方程x⁴－x²=y⁴－y²的曲線C，并解答：

(1)若點A(m，)在曲線C上，求m的值；

(2)求曲線C的截距；

(3)若直線y=a(aR)與曲線C分別有一個、二個、三個、四個交點，求a的值或其取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

原方程可化為 (x2－y2)(x2+y2－1)=0 即  y=±x或x2+y2=1．故方程的曲線C如圖所示 (1)因點A(m，)在曲線C上， ∴(m2－2)[m2+()2－1]=0， 解之，有m=±�！　�                               (2)直線y=±x的截距為零． 圓x2+y2=1在x軸上的截距分別為－1和1，在y軸上的截距也是－1和1。 (3)解方程組得直線與圓的四個交點A()，B()，E()，D()，結合圖像可知： 當直線y=a與曲線C有兩個交點時： a>1或a<－1，或a=或a=， 當直線y=a與曲線C有三個交點時： a=1或a=－1，或a=0， 當直線y=a與曲線C有四個交點時： 0<a<1且a≠，或－1<a<0且a≠， 由曲線的對稱性知，直線y=a與曲線C不會只有一個交點，即不存在實數(shù)a，使直線y=a與曲線C有一個交點。