Question

14．設數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），設b_n=a_n+a_n-1，c_n=a_n-3a_n-1
（Ⅰ）判斷數(shù)列{b_n}，{c_n}是否為等比數(shù)列并說明理由；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （I）由已知可得：$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+{a}_{n-2}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+3{a}_{n-2}+{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+{a}_{n-2}}$=3，同理可得：$\frac{{c}_{n}}{{c}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-3{a}_{n-2}}$=$\frac{2{a}_{n-1}-3{a}_{n-2}-3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-3{a}_{n-2}}$=-1．即可得出數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．
（II）由（1）可得：b_n=b_n=a_n+a_n-1=3^n-2×7（n≥2）．c_n=a_n-3a_n-1=（-1）^n-2（a₂-3a₁）=（-1）^n-1×13．聯(lián)立解出：a_n．

解答 解：（I）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
b_n=a_n+a_n-1，$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+{a}_{n-2}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+3{a}_{n-2}+{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+{a}_{n-2}}$=3，
c_n=a_n-3a_n-1，$\frac{{c}_{n}}{{c}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-3{a}_{n-2}}$=$\frac{2{a}_{n-1}-3{a}_{n-2}-3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-3{a}_{n-2}}$=-1．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為3．
數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，公比為-1．
（II）由（1）可得：b_n=a_n+a_n-1=3^n-2×7（n≥2）．c_n=a_n-3a_n-1=（-1）^n-2（a₂-3a₁）=（-1）^n-1×13．
聯(lián)立解出：a_n=$\frac{1}{4}$[3^n-1×7+（-1）^n-1×13]．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．