Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=．
（1）求a_n與b_n；
（2）證明：≤++…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用b₂+S₂=12和數(shù)列{b_n}的公比q=，即可列出方程組求的q、a₂的值，進(jìn)而獲得問題的解答；
（2）首先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算出數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后利用疊加法即可獲得問題的解答．
解答：（1）解：由已知等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=．
∴q+3+a₂=12，q=
∴q=3或q=-4（舍去），∴a₂=6
∴a_n=3+（n-1）3=3n，b_n=3^n-1；
（2）證明：∵S_n=，∴
∴++…+=（1-+-…+-）=
∵n≥1，∴0＜≤
∴≤＜
∴≤++…+＜．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求法與不等式的綜合問題，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用疊加法求數(shù)列的和．