Question

已知函數(shù)f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.

(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)若對(duì)任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

（1）k＝－1. （2）(0，＋∞)

【解析】(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函數(shù)，

∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，

即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，

∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0對(duì)一切x∈R恒成立，

∴k＝－1.

(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x，

即2x＋k·2－x＞2－x成立，

∴1－k＜22x對(duì)x≥0恒成立，

∴1－k＜(22x)min，

∵y＝22x在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，

∴(22x)min＝1，

∴k＞0.

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，＋∞)．